von Alex van den Brandhof (Foto: Nu)

Was hat die Zahl π – also das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser – mit Primzahlen zu tun? Viel, so bewies es der Basler Mathematiker Leonhard Euler. Nimmt man das Produkt der Faktoren 1/(1 – 2^–2), 1/(1 – 3^–2), 1/(1 – 5^–2), 1/(1 – 7^–2), 1/(1 – 11^–2) usw. (ja, die fettgedruckten Zahlen sind die Primzahlen), multipliziert das Ergebnis mit 6, und zieht schlussendlich die Quadratwurzel dieser Zahl, dann erhält man, ganz genau: π. Abnormal, nicht?

Allerdings glauben die meisten Mathematiker, dass π ganz normal ist. Zahlen wie 1, 2 und 3 sind abnormal. Aber π nicht, da man vermutet, dass in π jede beliebige Zahlenfolge steckt – erst dann finden Mathematiker eine Zahl normal. Ihre Telefonnummer oder Ihre Telefonnummer tausend Mal hintereinander aufgeschrieben – jede noch so kuriose und noch so lange Folge von Ziffern sollte irgendwo in den Nachkommastellen auftauchen.

Laut Definition ist eine Zahl normal, wenn jede Ziffer mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/10 in ihren Nachkommastellen auftaucht. Und jede Folge zweier Ziffern, wie 07 oder 26, taucht mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/100 auf, wenn wir die Nachkommastellen von π in Gruppen aus zwei Ziffern zerlegen. Und Ähnliches muss auch für längere Folgen gelten. Zum Beispiel 0815: diese aus vier Ziffern bestehende Folge ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/10’000 anzutreffen, wenn die Nachkommastellen in Gruppen aus vier Ziffern zerlegt werden.

Wenn man Buchstaben mit Zahlen kodiert, sollte der Inhalt dieser Entfalter-Ausgabe in π stecken. Mehr noch: π sollte alle Bücher, die je geschrieben worden sind, enthalten. Mathematiker behaupten, dass in π jeder beliebige Text kodiert ist. Man braucht allerdings viele Billiarden Stellen, bis man auf einen Text stösst. Nur der Titel «Entfalter», in ASCII-Code 69 110 116 102 97 108 116 101 114, befindet sich schon nicht in den ersten 200 Millionen Nachkommastellen von π.

Vor ein paar Jahren hat Francisco Javier Aragón Artacho von der Universität von Alicante in Spanien eine interessante Visualisierung von π gemacht. Diese zeigt Milliarden Nachkommastellen als eine Art von Wolke. Dafür rechnete er die Zahl in das Zahlensystem mit der Basis 4 um. In diesem System stehen nur die Ziffern 0, 1, 2 und 3 zur Verfügung. Die Zahl π entspricht im quaternären Zahlensystem 3,02100333…. Für seine Visualisierung startete der Spanier an einem Punkt in einem zweidimensionalen Gitter. Wenn die folgende Nachkommastelle eine 0 ist, bewegt man sich auf dem Gitter ein Häuschen nach rechts, bei einer 1 ein Häuschen nach oben, bei einer 2 eins nach links und bei einer 3 eins nach unten. Diese Bewegung wird nach und nach ausgeführt.

Die Form der Wolke, basiert auf den ersten 100 Milliarden Ziffern von π, spricht dafür, dass π im quaternären System normal ist, da das Bild ähnlich dem Bild der pseudozufällig generierten Basis-4-Ziffern ist. Angenommen, π ist tatsächlich normal, dann wird jeder Punkt im Gitter mal besucht, wenn man die beschriebene Bewegung bis ins Unendliche fortsetzt. Das zu beweisen ist eine Aufgabe für künftige Mathematiker.

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